接着,我给出学生一个变式:在正方形ABCD内任选一点P,使得△PAB为钝角三角形,且钝角大于120°的概率。

  对于这个问题,学生就难以下手了,究其原因是学生对在圆中直径所对的圆周角为直角,比较熟悉,却忽略了在圆中定弦定角的理论。

  在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。

  实际上,涉及到定角问题,我们不妨放置到圆中,或许会收到意外的收获。接下来,我们来看几道例题:

  这类问题可以尝试用数量积定义或者坐标法计算,但是小编尝试过,过于麻烦,在此,我就不再展开这两种常规作法了,有兴趣的朋友可以尝试解决,进行比较。今天我们放到圆中来解决。

  这类问题可以尝试用余弦定理找出AD与边的关系,用基本不等式求出AD的最大值,但是要注意基本不等式等号成立的条件;也可以用正弦定理求出AD关于B、C的表达式化成正弦型函数求出AD的最大值,但是要考虑辅助角的取值范围。不妨,我们仍放到圆中来解决。

  我们仍可以尝试利用向量数量积进行计算,或者通过建立直角坐标系,利用坐标计算,但是仍较为复杂,在这道问题中,仍涉及到定角问题,且两对角互补,借助于圆内接四边形对角互补的理论,不妨放到圆中,尝试解决。

  美国数学家斯蒂恩曾经说过:“如果能够发现一个特定的问题隐蔽的几何图形,那么思维就整体地把握了问题,而且能创造性地思索问题的解法”,与我国华老先生的“数缺形时少直观,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休”有异曲同工之妙。